Alexey V. Pasechnik (al_pas) wrote,
Alexey V. Pasechnik
al_pas

Categories:

Нестрашная общая теория относительности

Благодаря многим авторам-популяризаторам, считающим, что книжка обречена на провал, если в ней будет хотя бы одна формула, у многих сложилось мнение, что теория относительности, а особенно общая теория относительности — это что-то запредельно сложное, доступное только избранным.

Недавно в ЖЖ у Сергея Щеглова зашёл разговор о скорости течения времени на искусственных спутниках Земли, который складывается из двух конкурирующих эффектов — эффекта специальной теории относительности: часы отстают, поскольку движутся относительно наземного наблюдателя, и эффекта общей теории относительности: часы спешат, поскольку находятся в области более слабого гравитационного поля.
На самом деле в общей теории относительности это один и тот же эффект — эффект искривлённого пространства времени, описываемого, например, метрикой Шварцшильда:

0
Оно совсем не страшное. Первое слагаемое описывает вклад в интервал гравитационного поля, второе — суммарный вклад движения вдоль радиуса и изменения гравитационного поля, а третье — вклад движения «поперёк» гравитационного поля, то, что обычно называют эффектом специальной теории относительности.
Давайте теперь подсчитаем длину геодезической для спутника и для неподвижного наблюдателя. Поскольку интервал является инвариантом преобразования системы отсчёта, то нам всё равно, в какой системе считать. Проще это сделать в системе отсчёта бесконечно удалённого неподвижного наблюдателя. Землю пока для простоты будем считать идеальным однородным невращающимся шаром, лишённым гор и атмосферы. (Есть ещё один «тонкий» момент: r в выражении для интервала в метрике Шварцшильда — это не совсем радиус-вектор, но гравитационное поле у нас слабое, и мы эту тонкость пока оставим за скобками.)
Подсчитаем интервалы за один оборот спутника. Пусть у нас с=299792458 м/с — скорость света, G = 6.67∙10-11 м3с-2кг-1— гравитационная постоянная, M = 5,97∙1024 кг — масса Земли, r = 6,380∙106 м — радиус Земли, и h — высота полёта спутника над уровнем моря. Численные значения подставим позже.
Для начала упростим уравнение, выкинув лишние члены. Пусть спутник у нас движется по круговой орбите, тогда его расстояние до центра Земли не меняется, и второй член будет равен нулю. Пусть также спутник движется в экваториальной плоскости — тогда из третьего члена у нас уйдёт зависимость от широты, и уравнение примет следующий вид:
0a
В системе неподвижного наблюдателя дифференциал интервала (поскольку угол не меняется, и его дифференциал равен нулю) будет равен:
1
Время течёт равномерно, следовательно интервал будет просто:
2.
Подставив сюда выражения для периода спутника на круговой орбите , получим окончательную формулу:

4
Теперь подсчитаем интервал для спутника. Для него:
5.
Подставляя в эту формулу явное выражение для зависимости φ от времени — 6 и скорость спутника на круговой орбите — 7, получаем:
8
Переменные разделены, время течёт равномерно, поэтому:
9
После подстановки выражения для периода спутника на круговой орбите — — получим:

Спутник:
10

Запишем рядом, чтобы было удобно сравнивать, выражение для интервала неподвижного наблюдателя:
4
Подставив все вышеперечисленные численные значения, получим, что за один оборот спутника вокруг Земли при высоте орбиты h = 0 интервалы составят:
У спутника: s = 1.521183150926∙1012 м,
У земного наблюдателя: s = 1.521183151455∙1012 м.
Разность интервалов: -529 м, что означает, что часы на спутнике за один виток отстанут на 1,76 мкс, а за сутки — на 30 мкс.
Очевидно, что чем выше находится орбита спутника, тем медленнее он движется, что уменьшает отставание его часов, а уменьшение модуля гравитационного потенциала приводит к тому, что часы на спутнике начинают спешить. На какой-то высоте эти два эффекта сравняются, и часы на спутнике будут идти с той же скоростью, что и на Земле. На более высоких орбитах часы на спутнике будут уже спешить по сравнению с земными.
Чтобы найти высоту орбиты, на которой часы на спутнике и на Земле идут одинаково, приравняем оба интервала и решим получившееся уравнение: оба интервала становятся равными при h = R/2, что соответствует высоте орбиты 3190 км. Ниже этой орбиты часы на спутнике будут отставать, выше — спешить.
Например, часы на спутниках GPS, высота орбит которых составляет около 20200 км, спешат относительно земных часов на 38,4 мкс за сутки.

Tags: Физика
Subscribe

  • Зелёный луч

    Техническая фотография, призванная продемонстрировать существование явления зелёного луча и независимость его от средства регистрации. Верхний кадр…

  • Комбинированный мираж

    Сегодня был интересный мираж над Финским заливом: комбинация верхнего и нижнего миражей, в результате чего кронштадтский Морской собор взлетел над…

  • Ещё о книгах Я. И. Перельмана

    Цитата из книги Я. И. Перельмана «Занимательная физика»: « Жители современного Рима до сих пор пользуются остатками водопровода,…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 25 comments

  • Зелёный луч

    Техническая фотография, призванная продемонстрировать существование явления зелёного луча и независимость его от средства регистрации. Верхний кадр…

  • Комбинированный мираж

    Сегодня был интересный мираж над Финским заливом: комбинация верхнего и нижнего миражей, в результате чего кронштадтский Морской собор взлетел над…

  • Ещё о книгах Я. И. Перельмана

    Цитата из книги Я. И. Перельмана «Занимательная физика»: « Жители современного Рима до сих пор пользуются остатками водопровода,…